Tema 6: "Obtencion de la grafica de una funcion lineal a partir de su pendiente y su ordenada en el origen"

Para poder obtener la grafica podemos utilizar los parametros m= pendiente y b= ordenada en el origen con la ecuacion
y = mx + b. La ordenada representa el valor de y cua do x vale 0. Para aprender como hacerlo haremos uso del siguiente ejemplo:

Se nos da la siguiente ecuacion: y = 2/3x + 4
La pendiente de la recta que le corresponde a la ecuacion 2/3 y su interseccion en y, u ordenada en el origen es 4. Para lograr esto seguimos los siguientes pasos:

Tema 5 ecuacion de la recta en la forma pendiente ordenada en el origen

 Veamos un caso particular de la ecuación en forma punto-pendiente.
Si una recta de pendiente M corta el eje Y en el punto P(0,B) co se encuentra en la figura sigiente:





De acuerdo con la ecuación de la forma punto-pendiente tenemos que:
                           Y-Y1=M(X-X1)


 Donde Y1=B y X =0. Por siguiente:
                             Y-B=M(X-0)
                             Y-B =MX
 Al resolver (despejar) para Y resulta:











                     Y=MX + B







Cuando se tiene la ecuación de una recta expresada de esta modo, entonces está escrita de la forma PENDIENTE - ORDENADA en el origen.
 La ordenada B recibe el nombre de ordenada o intersección en y puesto que su valor es el de Y cuando X=0.

EJENPLO:
         Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto P1(-4,7) y cuya pendiente es -2. Escribe
La ecuación en la forma pendiente ordenada en el origen.

             
              Hay que determinar la ecuación en la forma de punto pendiente y despejar la variable Y


                    Y-Y1=M(X-X1)

Donde P1(X1,Y1)=P1(-4,7) y M= -2 porlotanto
                  Y-7=-2[X-4(-4)]
                  Y-7=-2(X+4)
                 Y-7=-2X-8
                     Y=-2X-8+7
                     Y=-2X-1

Tema 4 Angulo de inclinación y pendiente de una recta

Se llama angulo  de inclinación de una recta la tangente trigonométrica de su angulo de inclinación. si se presenta la pendiente de una recta con la letra m y su angulo de inclinación con la letra griega alfa entonces: m = tangente



la pendiente de una recta no vertical ( no paralela al eje y ) es un numero que mide cuanto  y hacia donde esta inclinada la recta.

Respecto al intervalo de variación del angulo de inclinación    de una recta cabe hacer las observaciones:

Si la recta es horizontal es decir, es paralela al eje x o coinciden con el, su pendiente m es cero ya que tangente 0 = 0


La formula para sacar la pendiente:


angulo = tan-1 m
 
la recta cuya pendiente  vale menos cuatro entre tres

                                                        tan = m
                                                        tan = menos cuatro entre tres
                                               angulo   = tan-1 (-cuatro entre tres )
                                              angulo =  - 53.13; luego
                                              angulo = 180 - 53. 13
                                              angulo = 126 . 87

Tema 3 División de un segmento de recta en una razón dada

Uno de los conceptos de mayor aplicación en la geometría es donde un punto p(x.y),que se llama "punto de división" divide un segmento de recta en una razón dada.

Por ejemplo supongamos que p1 y p2 son dos puntos distintos en el en el plano.uno de ellos se toma como primer punto y el otro como segundo. Vamos a trazar por estos puntos una recta L y marcaremos la intersección positiva.Consideremos ahora que P es un punto que está en esa recta como:
                           R=P1P/PP2
Sería entonces que P divide el segmento de recta /P1P2 en la razón r. Observa el ejemplo.


En la recta de de la imajen de arriba  tenemos la distancia P1P2 (es decir, de P1 a P2) como la dirección positiva de forma que el segmento de recta /P1P2 tiene la misma dirección positiva.
Entonces, si el punto P está entre P1 y P2, y los números P1P y PP2 serán ambos positivos,entonces
la razón también será positiva.

Por otro lado, si la división P está situado fuera del segmento de recta /P1P2, uno de los números P1P y PP2 será positivo y el otro negativo, por lo que la razón r será un número negativo.
Les pondré un segmento donde consideremos un segmento de recta /AB que divide en seis Pages iguales. Determinemos en que razón divide P al segmento de recta /AB en cada uno de los ejemplos siguientes.

La longitud del segmento /AP es la recta de /AB y la de /PB es 5/6 de la longitud de /AB.


                         R=/AP\AB=(1/6)AP/5/6AB=1/5

                         R=1/5

El punto P divide el segmento de recta /AP es igual a 1.5

Tema 1: Extención de una gráfica

Al trazar las gráficas de las ecuaciones y =2x + 1 y  y = x2 - 4 resultó que son gráficas sin interrupciones, es decir, son continuas. Sin embargo, hay ecuaciones cuyas gráficas no son de este tipo; por ejemplo, si tenemos la ecuacion  y= __2x - 5__ ,                                                                                                             x - 3
Observa que en x =3 la expresión no esta definida ya que la división entre cero no lo está; por tanto, en x = 3 no hay gráfica para esa ecuación.


Para determinar estos intervalos se procede como sigue.

     1. A fin de hallar la extención de la variable y ( no siempre es posible).
      2. Se determinan los posibles valores de x para los cuales los valores de y son números reales.

Para hallar la extensión  de las variables x despejamos la variable y:
                                                                                       
                                                                    x2 + y2 = 16
                                                                           y2 = 16 - x2
                                                                  x = a raíz cuadrada de 16 - y2
 

observa que y es  numero real siempre que 16 - x2 sea mayor o igual que cero.


Esto se cumple si x toma valores del intervalo desde -4 hasta 4; ambos incluidos -4 menor o igual que x o menor igual que 4. Por tanto,  este intervalo de variación des la extencion de la variable x.
     Nota que si asignamos a x los valores 5 y - 5, respectivamente, entonces y no es  u7n numero real: tenemos y  = a raiz cuadrada de 16 - x2, y si x = 5 entonces:                                                                                                                                 
                                                                y =  a raiz cuadrada de 16 - (5) al cuadrado
                                                                y = a rauz cuadrada de 16 - 25
                                                                y = a raiz cuadrada de - 9


El resultado de esta ultima operación no es un numero real.
      Para determinar la extensión de la variable y despejamos la variable x:

                                                     x 2 + y2  = 16
                                                                  x2 = 16 - y2
                                                                x = a raiz cuadrada de 16 menos y cuadrado


Análogamente deducimos que el intervalo de variación de la variable y es menos cuatro menor que y menor que  cuatro y, por ende, este intervalo es su extensión.

Tema 2: Longitud de un segmento de recta

 En la resolucion de problemas de geometria analitica frecuentemente se requiere hallar la longitud de un segmento de recta.

Un segmento de recta se clasifica como:

Horizontal, si es paralelo o esta sobre el eje x.

Vertical, si es paralelo o esta sobre el eje y.

Inclinado, si no es paralelo ni esta sobre algun eje.

Si la longitud de la recta que vamos a sacar es vertical u horizontal, basta con resta el valor mas grande de las x o las y menos el valor mas bajo, pero si nuestra recta es inclinada necesitaremos de la siguiente formula:

                 

En donde los valores de y2 y x2 pertenecen a los puntos de la recta mas elevados, mas altos repecto al eje y.

Un ejemplo seria encontrar la distancia que hay entre los puntos A(7,3) y B(12,5).

Este ejercicio se resolveria de la siguiente manera:

              d=raiz cuadrada de ((12-7)al cuadrado + (5-3)al cuadrado)

              d=raiz cuadrada de ((5)al cuadrado + (2)al cuadrado)

              d=raiz cuadrada de (25 + 4)

              d=raiz cuadrada de 29

              d=5.38

Esta formula nos ayuda cuando tenemos figuras en el plano cartesiano, con esta formula podemos encontrar la medida de sus lados y despues poder sacar su perimetro y su area.

En ejemplo siguiente se nos pide que encontremos el perimetro y el area del siguiente triangulo, por lo que iniciaremos encontrando el valor de cada uno de sus lados:

        AC=raiz cuadrada de ((8-4)al cuadrado + (-5-7) al cuadrado)

        AC=raiz cuadrada de ((4) al cuadrado + (-12) al cuadrado)

        AC=raiz cuadrada de (16 + 144)

        AC=raiz cuadrada de 160

        AC=12.649 

     CB=raiz cuadrada de ((-1-8) al cuadrado + (-8-(-5)) al cuadrado)

     CB= raiz cuadrada de (-9) al cuadrado + (-3) al cuadrado)

     CB=raiz cuadrada de (81 + 9)

     CB=raiz cuadrada de 90

     CB=9.486

     BA=raiz cuadrada de ((-1-4) al cuadrado + (-8-7) al cuadrado)

     BA=raiz cuadrada de ((-5) al cuadrado + (-15) al cuadrado)

     BA=raiz cuadrada de (25 + 225)

     BA=raiz cuadrada de (250)

     BA=15.81

 Ya conocemos los valores de sus 3 lados, ahora lo que resta es hallar el valor de su perimetro y su area.

       P=AC + CB + BA

       P=12.649 + 9.486 + 15.81

       P=37.945

En una figura como esta en la que la formula necesita una altura para poder encontrar su area y no la tenemos, es necesario utilizar la formula de

En donde s= al semiperimetro, el cual se saca dividiendo nuestro perimetero sobre 2, y las letras a, b y c corresponden a cada uno de nuestros lados, dada esta formula tenemos que :

          s=(37.945)/2

          s=18.972

          A=raiz cuadrada de (s(s-a)(s-b)(s-c)

   A=raiz cuadrada de (18.972(18.972-12.649)(18.972-15.81)(18.972-9.486))

          A=raiz cuadrada de (18.972(6.323)(3.162)(9.486))

          A=raiz cuadrada de (18.972(189.656))

          A=raiz cuadrada de 3598.166

          A=59.984 unidades de medida cuadradas.

Encontrar la longitud de un segmento de recta en un plano cartesiano nos es muy util en estos casos. Con esto termina la explicacion de este tema.

Introduccion

Con la elaboracion de este proyecto nuestro equipo tratara de explicar lo mejor que podamos los temas del libro de matematicas de Tercer semestre de preparatoria. Esperamos que les sea de su agrado y que nuestros temas esten explicados.